Вопросы экзамена по курсу “Математический анализ”

1. Вещественные числа и правила их сравнения. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.

2. Приближение вещественного числа рациональным. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.

3. Счетные множества и множества мощности континуум. Неэквивалентность множества мощности континуум счетному множеству.

4. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Их основные свойства.

5. Понятие сходящейся последовательности. Основные теоремы о сходящихся последовательностях (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические операции над сходящимися последовательностями).

6. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е.

7. Понятие предельной точки последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

8. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши).

9. Два определения предельного значения функции (по Гейне и по Коши) и доказательство их эквивалентности. Критерий Коши существования предельного значения функции.

10. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Предельный переход в неравенствах. Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и принципы их сравнения. Предел сложной функции.

11. Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Арифметические операции над  непрерывными функциями. Классификация точек разрыва.

12. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

13. Обратная функция. Условия непрерывности монотонных функций и обратных функций.

14. Простейшие элементарные функции и их основные свойства.

15. Замечательные пределы.

16. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

17. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте (первая теорема Вейерштрасса).

18. О достижении функцией, непрерывной на сегменте, своих точной верхней и нижней граней (вторая теорема Вейрштрасса).

19. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора.

20. Понятие производной и дифференцируемости функции в точке.

21. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций, сложной функции и обратной функции. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций.

22. Первый дифференциал функции. Инвариантность его формы. Использование дифференциала для приближенного вычисления приращения функции.

23. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

24. Понятие возрастания (убывания) в точке и локального экстремума функции. Достаточное условие возрастания (убывания) и необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.

25. Теорема о нуле производной (теорема Ролля) и ее геометрический смысл.

26. Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Следствия теоремы Лагранжа.

27. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

28. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя).

29. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша).

30. Остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Его оценка.

31. Разложение по формуле Тейлора-Маклорена элементарных функций. Примеры приложений формулы Тейлора для приближенных вычислений элементарных функций и вычисления пределов.

32. Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

33. Простейшие методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).

34. Интегрируемость в элементарных функциях класса рациональных дробей (с вещественными коэффициентами).

35. Интегрируемость в элементарных функциях дробно-линейных иррациональностей и других классов функций.

36. Отыскание точек локального экстремума функции. Достаточные условия экстремума.

37. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Достаточные условия перегиба.

38. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

39. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах.

40. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

41. Классы интегрируемых функций.

42. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения.

43. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменного и интегрирования по частям.

44. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой.

45. Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

46. Понятие кубируемости (объем тела). Кубируемость некоторых классов тел.

47. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулы замены переменного и интегрирования по частям для несобственных интегралов.

48. Признак Абеля-Дирихле. Главное значение несобственного интеграла.

49. Метод хорд и его обоснование.

50. Метод касательных и его обоснование.

51. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (для одного из методов вывести оценку погрешности)

52. Различные множества точек и последовательности точек n-мерного пространства. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

53. Понятие функции п переменных и ее предельного значения.

54. Непрерывность функции п переменных. Основные теоремы о непрерывных функциях.

55. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость к поверхности.

56. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

57. Производная по направлению. Градиент.

58. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных.

59. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

60. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

61. Экстремум функции нескольких переменных и его отыскание.

62. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции.

63. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

64. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы и их роль при исследовании зависимости функций.

65. Условный экстремум и методы его отыскания.

 

Вопросы по курсу “Алгебра и геометрия”.

1. Декартово произведение множеств и бинарное отношение. Отношение эквивалентности. Фактор-множество.

1. Отображения. Обратное отображение.

1. Алгебраические операции. Обобщённый закон ассоциативности.

1. Группы. Основные свойства.

1. Подгруппы. Симметрическая и знакопеременная группы.

1. Группа невырожденных матриц. Группа невырожденных треугольных матриц. Группа ортогональных матриц.

1. Конечные группы. Теорема Лагранжа.

1. Степени элемента. Циклические группы. Подгруппы циклической группы.

1. Подгруппы, смежные классы, нормальные делители.

1. Изоморфизм групп.

1. Гомоморфизм групп.

1. Кольцо.

1. Поле. Характеристика поля. Алгебраическое расширение поля.

1. Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю.

1. Линейное пространство над полем. Число элементов в конечном поле.

1. Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость.

1. Тригонометрическая форм комплексного числа. Модуль и аргумент произведения комплексных чисел.

1. Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра.

1. Извлечение корня из комплексного числа.

1. Группа корней из единицы. Первообразные корни.

1. Кольцо многочленов. Деление с остатком.

1. Наибольший общий делитель, его свойства. Алгоритм Евклида.

1. Значения многочлена и корни. Теорема Безу.

1. Многочлены как формальные выражения и как функции. Эквивалентность двух определений равенства многочленов.

1. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители.

1. Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Кратность корня.

1. Каноническое разложение многочленов над полем вещественных чисел.

1. Формулы Виета. Симметрические многочлены.

1. Операции над матрицами и их свойства.

1. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Приведение к диагональному виду.

1. Перестановки, транспозиции, чётность.

1. Определитель и его свойства как функции столбцов (строк).

1. Определитель транспонированной матрицы.

1. Определитель произведения матриц.

1. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

1. Невырожденные матрицы. Обратные матрицы. Критерий обратимости матрицы.

1. Линейное пространство. Определение и примеры. Арифметическое пространство.

1. Линейная зависимость в линейном пространстве.

1. Базис и размерность линейного пространства.

1. Переход к другому базису, матрица перехода.

1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

1. Ранг матрицы и линейная зависимость строк и столбцов.

1. Ранг произведения матриц. Ранг матрицы и элементарные преобразования.

1. Эквивалентные матрицы. Критерий эквивалентности.

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность систем. Элементарные преобразования систем.

1. Системы с невырожденной матрицей. Правило Крамера.

1. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Критерий единственности решения.

1. Исследование системы линейных алгебраических уравнений общего вида. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы.

1. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений. Число арифметических операций в методе Гаусса.

1. Линейное подпространство. Геометрические свойства множества решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение.

1. Линейное многообразие. Геометрические свойства множества решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Общее решение.

1. Направленные отрезки. Свободный вектор.

1. Линейные операции над векторами. Координаты вектора.

1. Проекции вектора. Свойства линейности проекций.

1. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.

1. Аффинная система координат. Преобразование координат.

1. Преобразования прямоугольных декартовых координат. Ортогональные матрицы.

1. Скалярное произведение геометрических векторов. Скалярное произведение в прямоугольных декартовых координатах.

1. Векторное произведение векторов.

1. Смешанное произведение векторов.

1. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных декартовых координатах.

1. Алгебраические линии и поверхности. Инвариантность порядка линии (поверхности).

1. Параметрические уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве.

1. Общее уравнение прямой на плоскости в аффинной системе координат. Критерий параллельности вектора прямой.

1. Общее уравнение плоскости в пространстве в аффинной системе координат. Критерий параллельности вектора плоскости.

1. Взаимное расположение двух прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.

1. Пучок прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.

1. Полуплоскости и полупространства.

1. Уравнения прямой в пространстве.

1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

1. Метрические задачи на прямую и плоскость в прямоугольных координатах.

1. Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Матричная запись общего уравнения и его квадратичной части.

1. Приведённые уравнения линии второго порядка на плоскости. Метод вращений.

1. Классификация линий второго порядка на плоскости.

1. Эллипс. Фокусы и директрисы.

1. Гипербола. Фокусы и директрисы.

1. Парабола. Фокус и директриса.

1. Общее уравнение поверхности второго порядка в пространстве. Матричная запись общего уравнения и его квадратичной части.

1. Приведённые уравнения поверхности второго порядка. Метод вращений. Классификация.

1. Поверхностей второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндрические поверхности.

1. Прямолинейные образующие алгебраических поверхностей второго порядка.

 

Рекомендуемая литература:

1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004. (и другие издания).

1. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I, II. М.: Фазис, 1997, 1998; М.: МЦНМО, 2002 (и другие издания).

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.I, II, III. М.: ГИФМЛ, 1963; СПб: Невский диалект, 2001, 2002.

1. Гелбаум Б., Омстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967; М.: изд-во ЛКИ, 2007.

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. I, II. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985, 2004.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1997.

1. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986.

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971.

Программа составлена в соответствии с Перечнем направлений подготовки и аттестационных испытаний в МГУ имени М.В.Ломоносова в 2013 году.

Программа утверждена
на заседании Ученого совета Казахстанского филиала МГУ имени М.В.Ломоносова
5 декабря 2012 года

Назад в раздел