МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

КАЗАХСТАНСКИЙ ФИЛИАЛ

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

В МАГИСТРАТУРЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

«МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДАННЫХ»

Дополнительные главы математического анализа

1 Непрерывность функций одной переменной, свойства непрерывных функций.

2 Кривые в многомерном пространстве. Теорема о длине дуги кривой. Мера Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

3 Функции многих переменных, полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению. Градиент.

4 Частные производные высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных второго порядка. Формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа.

5 Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции.

6 Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций.

7 Несобственные интегралы и их сходимость. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Свойства равномерно сходящихся интегралов.

8 Теоремы Остроградского и Стокса. Дивергенция. Вихрь.

Дополнительные главы алгебры

1 Понятие группы, примеры групп, теорема Лагранжа и следствия из нее.

2 Теорема о гомоморфизме для групп.

3 Поле. Примеры полей (конечных и бесконечных). Расширения полей. Алгебраические расширения. Теорема о том, что конечное расширение является алгебраическим.

4 Кольца, примеры колец. Идеалы, теорема о гомоморфизме для колец.

5 Теорема о башне полей.

Дополнительные главы дифференциальной геометрии

1 Параметризованная регулярная кривая, регулярная замена параметра, длина кривой натуральный параметр. Формулы Френе на плоскости и в пространстве. Кривизна и кручение в произвольном параметре.

2 Первая и вторая квадратичная формы поверхности. Изометрии поверхности. Главные кривизны, гауссова и средняя кривизны. Теорема Менье, теорема Эйлера.

3 Деривационные формулы Гаусса-Вейнгартена, теорема Гаусса.

4 Ковариантная производная векторного поля на поверхности; параллельный перенос, геодезические на поверхностях.

Дискретные математические модели

1 Функции алгебры логики. Операция суперпозиции. Полные системы. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики.

2 Функции k-значной логики. Операция суперпозиции. Полные системы. Теорема Кузнецова о полноте.

3 Операции суперпозиции и композиции. Структурные автоматы. Теорема о неполноте конечных систем относительно операции суперпозиции. Конечные системы, полные относительно операции композиции.

4 Схемы из функциональных элементов. Понятие сложности схемы. Асимптотика функции Шеннона сложности схем из функциональных элементов.

ЛИТЕРАТУРА

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, т.1, т.2. - М.: Проспект, 2006.

Кудрявцев Л.Д. Математический анализ

Фихтенгольц Г.И. Основы математического анализа, тт. 1,2,3

Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. I. Основы алгебры

Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. II. Линейная алгебра

Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. III. Основные структуры алгебры

Колгоморов А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Физматлит, 2004. — 572 с.

Ильин В.А.. ПознякЭ.Г. Линейная алгебра. - М.: Физматлит, 2005.

Ильин В.А., Позняк Э.Г, Аналитическая геометрия. -М.; Физматлит, 2004.

Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А,Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Физматлит, 2005. — 254 с.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 2004. — 321 с.

Яблонский СВ. Введение в дискретную математику.4-ое издание. -М.: Высшая школа, 2003. – 384 с.